Question

高等数学证明

请证明达布中值定理

Answer 1

已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数g(x)=f(x)-ηx，若g(a)=g(b)则由罗尔中值定理，存在ε∈（a,b）使g'(ε)=0。否则不妨设g(a)>g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)，由介值定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。证毕