Question

复变函数 解析函数 高分求解答。

第一问的意思是用a表示y的极值。
第二问是f（z）的z＝0时，f（0）＝a，因此f（z）在全体复数平面被定义的函数。A是正数，［-A,A］是实轴上的点，Ca是-A到A的圆心，（就是那个半圆）然后求积分。
第三问是先求积分，再求极限。
第四问是求极限，第五问是求积分！！！！！
拜托了啊！！！！！！

虽然是日文，相信大家大概能看懂。
求答案。急！！！！！！！！
分数先到先得！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

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Answer 1

过程不算很详细, 有疑问请追问.
(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+...
因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+...
可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2.

(2) 在定义f(0) = a以后, f(z)在整个复平面上解析.
由Cauchy积分定理, f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0.

(3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it), t由0到π.
故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))
= ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt
= i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt
= i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π
= 2/A-π.
于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z² dz = -π.

(4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))|
= |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt|
≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt
= ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt (当b为实数, |e^(ib)| = 1).
= ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt
≤ ∫{0,π} 1/A dt (Asin(t) ≥ 0, 故e^(-Asin(t)) ≤ 1)
= π/A.
当A → +∞时π/A → 0, 可得lim{A → +∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0.
故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz = 0.

(5) 由(3)(4)的结果, 可得lim{A → +∞} ∫{C_A} f(z)dz = -π.
又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A} f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz,
可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π.
注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0} f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz
= ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz
= ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z² dz
= 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz.
因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx = lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz = π/2.

Answer 2

(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+... 因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+... 可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2. (2) 在定义f(0) = a以后, f(z)在整个复平面上解析. 由Cauchy积分定理, f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0. (3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it), t由0到π. 故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π}(1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it)) = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt = i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt = i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π =2/A-π. 于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z²dz = -π. (4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π}e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt| ≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt = ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt(当b为实数, |e^(ib)| = 1). = ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt ≤ ∫{0,π} 1/A dt(Asin(t) ≥ 0, 故e^(-Asin(t)) ≤ 1) = π/A. 当A → +∞时π/A → 0, 可得lim{A →+∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0. 故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz= 0. (5) 由(3)(4)的结果, 可得lim{A → +∞}∫{C_A} f(z)dz = -π. 又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A}f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz, 可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π. 注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0}f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz = ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz = ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz = ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z²dz = 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz. 因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx =lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz= π/2.^ --免责声明-- 经验内容仅供参考，如果您需要解决具体问题（尤其在法律、医学等领域），建议您接下来详细咨询相关领域专业人士。※ --采纳声明-- 本人已竭尽全力向您解答，如有疑问，请追问;如无疑问，请采纳;如觉得答案不符，请通过追问批评纠正，互相帮助，相互进步！(如果看到声明仍然不采纳或追问，那本人拒绝回答你一切问题！)