Question

数列1³+2³+3³+……+n³的求和公式。最终结果和证明过程。

要有清晰的推导过程。

Answer 1

1³+2³+3³+……+n³=1/4n²（n+1)²

证明：
当n=1时，等式左边=1³=1
等式右边=1/4*1²*（1+1）²=1
两边相等。

假设对n=k，k为任意正整数均有1³+2³+3³+……+k³=1/4k²（k+1)²

则当n=k+1时，等式左边等于1/4k²（k+1)²+(k+1)³=(k+1)²(1/4k²+k+1）=（k+1）²*1/4(k²+4k+4）=1/4(k+1)²（k+2）²
将n=k+1代入左边得1/4(k+1)²（k+2）²
所以当n=k+1的时候等式仍成立。

因此根据数学归纳法的原理：1³+2³+3³+……+n³=1/4n²（n+1)²。得证。

追问

还有什么方法吗。还有一个问题，1+x^1+x^2+x^3+……+x^n的结果和过程。

追答

想当年我初中一年级的时候推导出来1^7+...+n^7，一直推到1^8+...+n^8。用的是推导，不是证明。

1+x^1+x^2+x^3+……+x^n我后面慢慢证明给你。

1+x^1+x^2+x^3+……+x^n是首项为1，公比为x的等比数列。
1+x^1+x^2+x^3+……+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)

证明：当n=1时，等式左边=1+x^1=1+x
等式右边=(x^2-1)/(x-1)=x+1
等式成立

假设当n=k，k为任意正整数的时候，等式成立，即1+x^1+x^2+x^3+……+x^k=[x^(k+1)-1]/(x-1)

当n=k+1时，等式左边=[x^(k+1)-1]/(x-1)+x^(k+1)=[x^(k+1)-1+x^(k+2)-x^(k+1)]/(x-1)=[x^(k+2)-1]/(x-1)

等式右边=[x^(k+2)-1]/(x-1)

所以等式仍然成立。根据数学归纳法原理，1+x^1+x^2+x^3+……+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)。得证。