设 I泊松积分 ＝ (0, ∝ )∫[e^(-x^2)] dx
I^2 = {(0, ∝ )∫[e^(x^2)] dx }*{(0, ∝ )∫[e^(y^2)] dy
= (积分区间D )∫∫[e^(-x^2 - y^2 )] dxdy (面积分）
=> [ 积分变换 ρ^2 = x^2 + y^2 , dxdy = ρdρdθ , D: 0 ≤ρ≤ + ∝ , 0 ≤θ≤ π/2 ]
= (积分区间D )∫∫[e^(-ρ^2) ] ρdρdθ (面积分）
= {(0 ≤θ≤ π/2 )∫dθ}{(0 ≤ρ≤ + ∝ )∫[e^(-ρ^2)ρdρ ] }
= (π/2)* (1/2)
故 I ＝ 泊松积分 = (√π)/2
扩展资料：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：
对第一类无穷限而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
设 I泊松积分 ＝ (0, ∝ )∫[e^(-x^2)] dx
I^2 = {(0, ∝ )∫[e^(x^2)] dx }*{(0, ∝ )∫[e^(y^2)] dy
= (积分区间D )∫∫[e^(-x^2 - y^2 )] dxdy (面积分）
=> [ 积分变换 ρ^2 = x^2 + y^2 , dxdy = ρdρdθ , D: 0 ≤ρ≤ + ∝ , 0 ≤θ≤ π/2 ]
= (积分区间D )∫∫[e^(-ρ^2) ] ρdρdθ (面积分）
= {(0 ≤θ≤ π/2 )∫dθ}{(0 ≤ρ≤ + ∝ )∫[e^(-ρ^2)ρdρ ] }
= (π/2)* (1/2)
故 I ＝ 泊松积分 = (√π)/2
扩展资料
设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。
被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
I^2 = {(0, ∝ )∫[e^(x^2)] dx }*{(0, ∝ )∫[e^(y^2)] dy
= (积分区间D )∫∫[e^(-x^2 - y^2 )] dxdy (面积分）
=> [ 积分变换 ρ^2 = x^2 + y^2 , dxdy = ρdρdθ , D: 0 ≤ρ≤ + ∝ , 0 ≤θ≤ π/2 ]
= (积分区间D )∫∫[e^(-ρ^2) ] ρdρdθ (面积分）
= {(0 ≤θ≤ π/2 )∫dθ}{(0 ≤ρ≤ + ∝ )∫[e^(-ρ^2)ρdρ ] }
= (π/2)* (1/2)
故 I ＝ 泊松积分 = (√π)/2
