Question

高数：广义积分问题疑惑

看到一个定理 说fx如果有界 那么 假如 fx从0到正无穷的积分和fx从负无穷到0的积分有一个是发散的 那么fx在负无穷到正无穷上就是发散的
我联想到arctgx在负无穷到正无穷有界 且单侧广义积分发散（从图形上判断） 但是arctgx不是奇函数吗？ 从负无穷到正无穷的积分不应该相消为0才对吗？或者是在R上的有界奇函数怎么满足这个结论？

Answer 1

奇函数在对称区间积分为0若区间是无界的，那必须满足条件在一半区间上积分有界。

原因是虽然积分区间是(-∞,﹢∞)
但是这两个无穷大代表的程度可以不一样的，即积分和求极限不一定能交换运算
即不一定有
∫<-∞,﹢∞> f(t)dt ?= lim x->﹢∞ ∫<-x, x> f(t)dt
我们只能把积分拆项，然后用
lim x->﹢∞ ∫<0, x> f(t)dt - lim x->-∞ ∫<0, x> f(t)dt

只有∫ <0,﹢∞> f(t)dt 和∫ <0,-∞> f(t)dt 积分都有界才行。
在奇函数且这两个积分有界的情况下，这两个积分一样，然后抵消了

其次，lim x->﹢∞ ∫<-x, x> f(t)dt 定义为柯西主值，数分中有一定讨论。有疑问可追问

追问

你下面描述的式子都没看太懂 不过你的意思是正负无穷的趋近方式可以不一样 这样就消不掉了对吧？我是工科 没学过数分。。

追答

对的

Answer 2

部分定义域发散可以推出全局定义域内发散，尽管你感觉上正负奇函数对称，但是我们不是这杨定义的，只要有部分发散了，不管函数其他地方长什么样子，总体一定发散。好比正无穷+负无穷=无穷，而不是等于0.

Answer 3

你极限的知识有些问题 几个无穷大相加减还是无穷大。