Question

曲线x∧2-2xy-3y∧2=1 的点到坐标原点的距离的最小值

Answer 1

此方程的确是中心在原点的双曲线(用-x, -y分别取代x, y，方程不变)。所以进行坐标系旋转，将方程变为标准形式，其余就很简单。

将坐标系绕原点逆时针旋转θ，则新旧坐标的关系是:

x = x'cosθ + y'sinθ

y = y'cosθ - x'sinθ

代入x² - 2xy - 3y² = 1并整理:

x'²(cos²θ - 3sin²θ + 2sinθcosθ) -2y'²(3cos²θ - sin²θ + 2sinθcosθ) + x'y'(8sinθcosθ + 2sin²θ - 2cos²θ) =1

然后取x'y'的系数= 8sinθcosθ + 2sin²θ - 2cos²θ = 2(2sin2θ - cos2θ) = 0

2sin2θ - cos2θ = 0

tan2θ = 1/2, 0 < 2θ < π/2

sin2θ/√(1 - sin²2θ) = 1/2

sin2θ = 1/√5, cos2θ = 2/√5

x'²的系数cos²θ - 3sin²θ + 2sinθcosθ = 2cos2θ - 1 + sin2θ = 4/√5 - 1 + 1/√5 = √5 - 1

y'²的系数3²θ - sin²θ + 2sinθcosθ = 2cos2θ + 1 + sin2θ = 4/√5 + 1 + 1/√5 = √5 + 1

双曲线: (√5 - 1)x'² - (√5 - 1)y'² = 1

a² = 1/(√5 - 1) = (√5 + 1)/4

到坐标原点的距离的最小值 = a = (1/2)√(√5 + 1)

图中没画新的坐标系，而是在旧坐标系画了新双曲线。

追问

能不能用高中知识解答下， 为什么要取X'Y'的系数为0 把它变成双曲线?

如果我用十字交叉 化简为(X+Y)(X-3Y)=1 接下来怎么做？

追答

方法很简单，一看马上就知道是坐标系旋转(消去xy)，但过程化时间。我开始不小心, 做的时候搞错了8sinθcosθ + 2sin²θ - 2cos²θ中的一个系数，纠正后很快就得出最后结果(要对三角函数比较熟; 还有，坐标系旋转公式是查的)。然后再画图验证一下。

追问

谢谢 请问有没有圆锥曲线的一些资料？ 我想多研究研究 给你加分

追答

我没有系统性的材料。这个做法(http://tieba.baidu.com/p/744152184)更简单，不妨参考。

Answer 2

高三的吧？可以先将它化为双曲线方程，(x--1)的平方/2--1.5乘以(y的平方)=1再画图，与x轴交点为(1±√2).所以到原点最短为√2--1

追问

你确定你化简的式子与原来的相同？