Question

一道数学题，大家帮帮忙！

求证对于大于1的任意正整数n, 都有1/2+1/3+1/4+...+1/n<Inn

Answer 1

用数学归纳法
1.n=1时显然成立
2.假设n=k时成立，即：lnk>1/2+1/3+......+1/k
3.则下面我们要证的是：ln(k+1)>1/2+1/3+...+1/(k+1)
于是，ln(k+1)=lnk+ln(k+1)-lnk>1/2+1/3+...+1/k+ln((k+1)/k)
下面只需证明 ln((k+1)/k)-1/(k+1)>0
当 k>1时, 比较 ln(1/k+1) 与 1/(k+1) 的大小
令 u= 1/k, 考虑函数 g(u) = ln(1+u) - u/(1+u), g(u) = 0,
g '(u) = 1/(1+u) - 1/(1+u)² = u / (1+u)²
当u>0 时, g '(u) >0, g(u) 单增， g(u) > g(0) =0, 即 ln(1+u) > u/(1+u),
故当k>1时, ln(1/k+1) > 1/(k+1)

Answer 2

用数学归纳法[要用到不等式：当x>0时，ln(1+x)>x/(1+x).]

Answer 3