Question

求积分 ∫根号下（x^2+1）dx

要推导过程

Answer 1

楼上的计算，算到倒数第二步有积分项 ∫ 1/√(x²+1) dx，然后直接给出答案。我强烈建议直接给出∫√(x²+1) dx的答案，不是爽快得多？这些都是拓展的记忆公式。当然要用最基本的知识求解和证明。
令x=(e^t-e^-t)/2,
则√(x²+1)=(e^t+e^-t)/2,
上两式相加取对数得t=ln(x+√(x²+1))
后面的很好计算了。
原式=∫(e^2t+2+e^-2t)/4dt
=(e^t+e^-t)(e^t-e^-t)/8+t/2+C
=0.5x√(x²+1)+0.5ln(x+√(x²+1))+C,
C为常数
只用证明一次即可，希望楼主能记住，以后方便应用。

Answer 2

使用分部积分法来做
∫√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫x *d√(x²+1)
= x* √(x²+1) - ∫ x² /√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫ √(x²+1) dx + ∫ 1/√(x²+1) dx
所以得到
∫√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ∫ 1/√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C，C为常数

Answer 3

Answer 4

Answer 5

积分中的上限与下限呢