Question

为什么一个矩阵的全部特征值的和为其对交线元素之和，全体特征值的积为其行列式的值？？

Answer 1

一个n阶方阵转化为对角矩阵的充要条件是有n个线性无关的解（特征值）
对角矩阵除了对角线上的元素不为0，其他元素都是0，因此对角阵的特征值就是对角阵上的元素，对角阵的行列式的值就是对角线上元素的乘积。
当这个矩阵有n个线性无关的特征值了，它就可以转化为对角矩阵，即和对角矩阵相似，对角矩阵的拥有的性质这个矩阵也拥有。
对角阵的特征值和矩阵的特征值一样，对角阵对应的行列式的值和矩阵对应的行列式的特征值也一样。

Answer 2

对角矩阵才会有上述结论
一般矩阵不适用

追问

你回答错了

我想到怎么解释了

追答

相似矩阵的迹相同
矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积

追问

不是这么解释的

追答

但是只有能够对角化的矩阵才成立

追问

对于一般矩阵，若相似与一个对角矩阵，一般矩阵的对角元素与对角矩阵的对角元素是不同的，不过也有该结论成立

我是用的根与系数关系推出来的

不是用对角矩阵推的，问题提出后，然后就想到怎么推的了。。嘿嘿

你想呀，如果一个矩阵有n个线性无关的特征值，则其特征多项式可以写成成绩的形式

乘积的形式

与！入E-A！展开式进行比较即可得出

哈哈，好开心，想到怎么解决了，呵呵

追答

厉害!

追问

我上面打错了，是一个矩阵有n个线性无关的特征向量。。。呵呵，不好意思