Question

如何理解基本不等式中的一正二定三相等中的定

如何理解基本不等式中的一正二定三相等中的定，希望通过例题具体阐释。
如：已知x>0 y>o,且1/x+9/y=1,则x+y= ( )

我这样做的：等式童同乘xy，得：9x+y=xy
9x+y>=6根号下xy
求出xy的范围
x+y>=2根号下xy
x+y min=12
其中xy的值不定，我可以这样做吗？

Answer 1

基本不等式是指a^2+b^2>=2ab，并不要求一正二定三相等。
由基本不等式可推导出一个新的不等式根号a平方（也就是a）+根号b平方（也就是b）>=2根号（ab），将两边同除以2得到(a+b)/2>=根号ab，这个不等式叫做均值不等式，左边是两个正数的算术平均数，右边是两个正数的几何平均数。
利用均值不等式求最值时要注意一正二定三相等。

如已知x>0，求x+1/x的最小值，由均值不等式得x+1/x>=2根号(x*1/x)=2，左边大于等于2，当且仅当x=1/x，即x=1时取到等号，故左边的最小值为2。
但如果左边两数相乘不是定值，即使是正数，也不能得出最值。如已知x>=0,由均值不等式得1+x>=2根号x，当且仅当x=1时取到等号。右边这个2根号x不是定值，如果你将x=1代入左边得到最小值为2就错了，因为x>=0，1+x的最小值是1（此时x=0）

Answer 2

定值 a^2+b^2=4 a>0 b>0 4=a^2+b^2>=2ab a=b时取等号

Answer 3

一正是指两个数a b都要为正实数
二定是指，在a＋b为定值时，便可以知道ab的最大值；在ab为定值时，便可以知道a＋b的最小值，
三相等是指，不等式成立的条件是a =b。
比如，当a + b = 9时，ab的最大值为a+b≥2∨ab，即是ab≤81 / 9，最大值为81 / 9。当且仅当a=b =9 / 2时成立。
当ab = 4时，a+b的最小值为ab≤ (a + b) ^2/ 4，即是a + b ≥ 4。当且仅当a = b = 2时成立。

基本不等式重点掌握变形，以及取到等号的条件是否成立。个人认为最关键的是相等很重要，到后面不等市复杂后，等号的问题很容易被忽略。