Question

线性代数，克拉默法则的推论

克拉默法则的一个推论：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式等于0
那能不能由其次线性方程组系数行列式等于0，推出有非零解啊？

Answer 1

是的。这是充要条件
若齐次线性方程组系数行列式等于0，则系数矩阵的列秩r(A)小于未知数个数n，所以方程组有n-r(A)个自由未知量，因此必有非零解。

Answer 2

∵ 系数行列式等于0
∴该矩阵不满秩
∴存在非零数组（a_1,a_2,...)使得a_1*β_1+a_2*β_2+...=0 （(β_1,β_2,...)是该矩阵的列向量）
∴对应齐次线性方程组有非零解