Question

一道高一数学函数单调区间的题目

求函数f(x)=-x²+2x+8的单调区间 问题在于我看他的答案是 当x≤1时，f(x)是增函数；当1＜x≤2时，f(x)是减函数 。 这貌似是根据其函数图象来看的，但是这个一元二次方程的根一个是-2一个是4啊 答案和2有什么干系么、、1我还是可以理解。。。 求大神讲解、、
原题：已知函数f(x)=8+2x-x²,g(x)=f(2-x²)，试求g(x)的单调区间

Answer 1

解答：
这个就是利用二次函数的图像
f(x)=-x²+2x+8
图像开口向下，对称轴x=1
∴ x≤1时，f(x)是增函数
x≥1时，f(x)是偶函数
与 2确实毫无关系。那个答案给错了。

追问

再问一下
我把原题打了好了、已知函数f(x)=8+2x-x²,g(x)=f(2-x²)，试求g(x)的单调区间
这其实是一道复合函数的单调区间的问题。。。
答案上的思路是令f(t)=-x²+2x+8，t(x)=2-x²
大神能否再推敲下。。谢啦

追答

这个题答过好几遍了。哈哈。
是f(t)=-t²+2t+8
在[1,+∞）上是减函数
在(-∞，1]上是增函数

t(x)=2-x²，
在(0,+∞）上是减函数，[0,1]时，t(x)≤1，[1,+∞）时,t≥1
在(-∞，0）上是增函数，[-1,0]时，t(x)≤1，（-∞，-1]时,t≥1

然后利用同增异减法则

x∈[0,1]时, t(x)递减，t≥1,而t≥1时，f(t)递减，∴ g(x)递增
x∈[1,+∞)时, t(x)递减，t≤1,而t≤1时，f(t)递增，∴ g(x)递减
x∈[-1,0]时, t(x)递增，t≥1,而t≥1时，f(t)递减，∴ g(x)递减
x∈(-∞,-1]时, t(x)递增，t≤1,而t≤1时，f(t)递增，∴ g(x)递增

追问

所以答案真心有问题咯、、答案坑爹啊。。
谢谢啦

追答

给你画了个图，更能说明问题。

ps: 满意帮忙采纳一下。

Answer 2

① 解：∵ f（x）= - x ² + 2 x + 8
= -（x ² - 2 x + 1）+ 8 + 1
= -（x - 1）² + 9

∴ 当 x = - 1 时，f（x）有最大值 9

∴ 当 x < 1 时，f（x）单调递增

当 x ≥ 1 时，f（x）单调递减

方法：遇到二次函数求单调区间，最好把 f（x）化成 f（x）= a（x - h）² + k 的形式（顶点形

式），然后当 x = h 时，f（x）就有最值 f（x）= k ，然后根据图像，以这点为中心看单调区间就可

以了。

还有，答案有些问题。。。

② 解：∵ f（x）= 8 + 2 x - x ²
= -（x ² - 2 x + 1）+ 8 + 1
= -（x - 1）² + 9
∴ g（x）= f（2 - x ²）
= -（2 - x ² - 1）² + 8
= -（1 - x ²）+ 8
∴ 当 x ² = 1 ，即 x = ± 1 时，y 有最大值 8
∴ 当 x < - 1 或 x ≥ 1 时，g（x）单调递减
当 - 1 ≤ x < 0 或 0 ≤ x <1 时，g（x）单调递增

Answer 3

应该是还有其他条件的吧，如果只有你说的那些，那么答案是错的。应该是当x≤1时，f(x)是增函数；当x>1时，f(x)是减函数.
不过这样有点简单了，你再确定下题目。

Answer 4

看看函数的定义域是否与2有关

Answer 5

函数的对称轴是x=1(x=-2a/b)，开口向下，对称轴右边的为减函数，左边的是增函数，与他的根没有关系，他的根只是与x轴的交点，关于对称轴对称而已，与单调性没有直接的关系，真正有关系的是图像的拐点（或是驻点），如果是拐点，则单调性改变，驻点则不变。同学，懂了么？

Answer 6

有没有特别说明的定义域，没有就是答案错了，直接按照常规做