Question

已知函数f（x）=lnx+x^2+ax（a属于R）. （1）若函数y=f（x）图像在点p（1,f（x））处的切线与直线x+2y-1=

已知函数f（x）=lnx+x^2+ax（a属于R）.
（1）若函数y=f（x）图像在点p（1,f（x））处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实属a的值；

Answer 1

答：
f(x)=lnx+x^2+ax，x>0
求导：f'(x)=1/x+2x+a
x=1时，f'(1)=1+2+a=a+3
与直线x+2y-1=0垂直
切点横坐标x=1，代入直线方程得：
1+2y-1=0，y=0
所以：切点为（1,0）
直线垂直，斜率乘积为-1：
所以：f'(1)=a+3=-1/(-1/2)=2
所以：a=-1

追问

那函数f（x）的单调区间怎么求啊？

追答

嗯，切点不一定是（1,0），因为直线不一定经过切点
这道题目是巧合。
答：
f(x)=lnx+x^2+ax，x>0
求导：f'(x)=1/x+2x+a
x=1时，f'(1)=1+2+a=a+3
与直线x+2y-1=0垂直
直线垂直，斜率乘积为-1：
所以：f'(1)=a+3=-1/(-1/2)=2
所以：a=-1

答：求出a=-1
f'(x)=1/x+2x-1>=2√(2x*1/x)-1=2√2-1>0
所以：f(x)是单调增函数
所以：单调增区间为（0，+∞）