Question

已知二次函数y=f（x）满足条件f（0）=1,f（x+1）-f（x）=2x,试求函数f（x）的表达式

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
f(0)=c=1
f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=2ax+a+b=2x
∴2a=2,a+b=0
∴a=1,b=-1
∴f(x)=x²-x+1

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Answer 2

解
f(x+1)-f(x)=2x
∴
f(x)-f(x-1)=2(x-1)
f(x-1)-f(x-2)=2(x-2)
…………
f(3)-f(2)=2×2
f(2)-f(1)=2×1
将上式相加
∴f(x)-f(1)=2[(x-1)+(x-2)+……+2+1]
=2[(x-1)+1](x-1)/2
=x(x-1)
∵f(1)-f(0)=0
∴f(1)=1
∴f(x)=x²-x+1