Question

设平面上向量a=(cosa,sina)(0度小于等于a小于360度）,b=(一1/2,根号3/2)求两个向量根号3a+b与a一根号3b...

设平面上向量a=(cosa,sina)(0度小于等于a小于360度）,b=(一1/2,根号3/2)求两个向量根号3a+b与a一根号3b的模相等时，求角a

Answer 1

3a+b=(3cosa-1/2 ,3sina+根号3/2)
a-根号3b=(cosa+根号3/2,sina-3/2 )
l3a+bl=((3cosa-1/2)^2+(3sina+根号3/2)^2)^(1/2)
la-根号3bl=((cosa+根号3/2)^2+(sina-3/2)^2)^(1/2)
所以
(3cosa-1/2)^2+(3sina+根号3/2)^2=(cosa+根号3/2)^2+(sina-3/2)^2
化简得
9cos^2 a -3cosa +1/4 +9sin^2 a+3根号3 sina+3/4=cos^2 a +根号3 cosa +3/4+sin^2 a -3sina+9/4
10-3cosa+3根号3 sina=4+根号3 cosa-3sina
6=(3+根号3)cosa -(3根号3+3)sina
6=根号3(根号3+1)cosa -3(根号3+1)sina
2根号3/(根号3+1) =cosa-sina=根号2 cos(a+45)
cos(a+45)=根号6/(根号3+1)
由上式可以求出a (过程 是对的，数据没检查)

Answer 2

楼上过于复杂了：
a=(cosα,sinα)，即：|a|=1
b=(-1/2,√3/2)，即：|b|=1
|√3a+b|=|a-√3b|
即：|√3a+b|^2=|a-√3b|^2
即：3|a|^2+|b|^2+2√3a·b=|a|^2+3|b|^2-2√3a·b
即：4√3a·b=2|b|^2-2|a|^2=0
即此时a⊥b，即：a·b=(cosα,sinα)·(-1/2,√3/2)
=√3sinα/2-cosα/2=sin(α-π/6)=0
α∈[0,2π]，即：α-π/6∈[-π/6,11π/6]
故：α-π/6=0或π
即：α=π/6或7π/6