Question

复变函数，关于cos(z)的值域

实数函数里cos(x)的值域是[-1,1]
到了复数里
cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2
(e^iz+e^-iz)恒大于零啊，cos(z)的值域多少？

Answer 1

你好，在这里面有两个问题你要弄明白。
一.复数是无法比较大小的。所以根本不存在大于0这一说！对于这一点你可以这样理解，以前实数里面存在所谓的“大小”，是因为数轴只有两个方向，规定“右为大，左为小”。而复数域是一个复平面，有无数个方向，那你说哪个方向大，哪个方向小呢？
因此，复数里面只有模能比较大小（复数的模是实数)。
二.复变函数里的三角函数是怎么来的。
复变函数里，是先定义指数函数e^z,然后如你所说，用cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2，即用指数函数来定义三角函数。但是注意了，这里的e^z由于指数z是复数，因此指数函数的值域已和实函数不同了，数学上是这样处理的。对于复数z,令z=x+iy(x,y为实数)，从而e^z=e^x*e^iy。e^x即实数里面的指数函数，对于e^iy，由复数的指数可知，e^iy=cosy+isiny，从而e^z=e^x(cosy+isiny),可见e^z中包含了虚部，值域为复数域除0外的所有部分

追问

谢谢~
也就是说1/cos(z)在复平面解析？
1/[cos(z)+cosh(z)]呢？解析吗？

追答

根据这个定理判断就行了，1/cosz的解析域要除去cosz=0的部分，下面那个含有双曲余弦，我忘了。。。不好意思哈，你自己查一下定义，很容易判断的，原理就是发给你的这个定理

Answer 2

谁说(e^iz+e^-iz)恒大于0？它是一个复数