Question

四棱锥p-abcd中,底面abcd是正方形,边长为a pd=a pa=pc=根号2a,且pd是四棱锥的高

在这个四棱锥中放入一个小球，求球的最大半径?

Answer 1

以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间坐标系，并设球M的最大半径为r，考虑到球M与坐标平面PDA、PDC、DABC均相切，故球心M为（r，r，r）.
向量MB=（a-r，a-r，-r）；
平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1),
向量MB·法向量n=|法向量n|·r
即 a-r-r=√2r
得 r=(1-√2/2)a

追问

为什么要求MB和法向量

追答

也可以求向量MC和法向量；或求向量MP与法向量，都行！
根据向量的数量积的意义，向量MB与法向量n的数量积等于法向量n的模乘以向量MB在法向量上的投影，这个投影恰好为M到平面PBC的距离，即球半径！

Answer 2

设球心为O，连接OA,OB,OC,OD,OP.可将四棱锥分割成4个三棱锥和1个四棱锥。四棱锥P-ABCD的体积为几个小棱锥体积之和：1/3×AB²×PD=1/3×AB²×r + 1/3×1/2×PA×AB×r + 1/3×1/2×PC×BC×r + 1/3×1/2×PD×AD×r + 1/3×1/2×PC×CD×r, 解得r=[（2-√2）/2]a

追问

PA*pb不垂直啊 PAB三角形的面积不是应该是两条互相垂直的相乘吗

追答

PD垂直于面ABCD，所以PD垂直于AB，又AB垂直于AD，所以AB垂直于平面PAD，所以AB垂直于PA