Question

已知函数f<x>=lnx/x

1、确定y=f(x)在(0，+无穷)上的单调性
2、若a大于0，函数h(X)=x·f(X)-x-ax^2在(0，2)上有极值，求实数a的取值范围。

Answer 1

你好！

1、f'(x) = (1+lnx) / x²
f'(x) > 0 得 1+lnx > 0 ，x > 1/e
f'(x) < 0 得 x < 1/e
所以 (0,1/e) 内递减，(1/e,+∞)内递增

2、h(x) = lnx - x - ax²
h'(x) = 1/x - 1 - 2ax
h(x)在(0,2)有极值
即 h'(x) = 1/x - 1 - 2ax = 0 在 (0,2)有解
1/x - 1 - 2ax = 0
a = (1-x) / (2x²) = 1/2 (1/x)² - 1/2 (1/x)
= 1/2 ( 1/x - 1/2)² - 1/8
0 < x < 2
1/x > 1/2
∴
a > - 1/8