Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2,若对任意a属于[-4,+无穷),f(x)在x属于[0,2]上单调递增,求b的最小值

过程~~~~~

Answer 1

求导f'（x）=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
则构造F（a）=2xa+3x2+b≥0，也对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数
所以F（a）min=F（-4）=-8x+3x2+b≥0，当对任意的x∈[0，2]恒成立
即b≥（-3x²+8x）max
-3x²+8x=-3(x-4/3)²+16/3≤16/3，当x=4/3时得到最大值16/3
那么b的最小值就是16/3