Question

如何求矩阵方幂的特征值

求助各位大神：
1 若已知c是矩阵A的特征值，那么c的k次为什么是A的k次的特征值？
2
为什么A的k次的矩阵范数要小于等于A的矩阵范数的k次？这是我在《数值线性代数》，北大第二版，证明定理2.1.7
【第50页最后一行】时看不懂的地方。如果问题1是对的，那么A的矩阵范数的k次所构成的集合应该会比A的k次的矩阵范数所构成的集合要小呀，取完范数怎么不等式会倒过来？

Answer 1

1. 如果c是A的特征值, 则存在非零向量X使AX = cX.
于是(A^k)X = c^k·X, 即得c^k是A^k的特征值.

实际上, 如果A的特征值为c1, c2,..., cn (包括重根),
f(x)是任意多项式, 可以证明f(A)的特征值为f(c1), f(c2),..., f(cn) (包括重根).
因为A相似于上三角阵, 而对上三角阵容易验证上述结论成立.

2. 这里的矩阵范数是指||A|| = sup{||AX||/||X|| | X ≠ 0}?
从定义不难证明||AB|| ≤ ||A||·||B||, 归纳即得||A^k|| ≤ ||A||^k.
需要指出的是||A||不一定等于A的最大特征值的模.
例如A = [1,1;0,1]的矩阵范数是√5+1)/2 > 1, 在X = ((√5-1)/2,1)'时取得(这里X取欧式范数).