Question

已知0<α<π/2,π/2<β<π,且tanα/2=1/2,sin(α+β)=5/13求tan(α-β)/2

Answer 1

0<α<π/2,π/2<β<π
那么π/2<α+β<3π/2
而sin(α+β)=5/13>0
故π/2<α+β<π
所以cos(α+β)= -12/13
于是tan(α+β)= -5/12
即2tan(α+β)/2 / [1-tan²(α+β)/2]= -5/12
得到5tan²(α+β)/2 -24tan(α+β)/2 -5=0
而π/4<(α+β)/2<π/2
所以tan(α+β)/2 >0，解得tan(α+β)/2=5

而tanα= 2tan(α/2) / [1-tan²(α/2)]=4/3
所以
tan(α-β)/2
=tan[α-(α+β)/2]
=[tanα -tan(α+β)/2] / [1+tanα*tan(α+β)/2]
=(4/3 -5) /(1+4/3 *5)
= -11/23