Question

高等数学 导数的定义以及可导的条件

题目如图，不知怎么下手来做。

请网友不吝赐教！

Answer 1

形式上改写一下就不多说了，A选项注意 不管h->0+ ，还是h - >0-,虽有1 - cosh ->0，但是只是从右侧过来，因为 1 - cosh 恒大于0，这样虽然极限存在，但得到的只是右导数，事实上，有反例常用的 f = abs(x) (即f = x的绝对值），显然在0点不可导，你把A中f 用 f =abs(x)带入当然有极限，但是不可导，根据这点来看，显然有B，C选项符合条件,D选项就不用看了，在看下C选项，改写一下之后，注意lim (h-sinh)/h^2 = 0，这样你分开的另一个极限只要保持有界，就能保证C选项成立，这样就到不一定能得到f可导，比方说 f = xsin(1/x),x - >0时，极限存在，但是sin(1/x)的极限却不存在，最后看下B，根据前面所说的，分开成两个极限，这时候后面的极限存在且不是0，那么必须前面极限也存在，才可以了，这样就得到了f可导，感觉题目有点意思。。。。

追问

　　答案是为B。选项C中代数式经分离，关系到确定

                   

的取值的问题。答案提示为“当h→0时，h-sinh与h^2是同阶无穷小。”请问是同阶的吗？如何判断上式极限的值呢？

追答

不是同阶的，是高阶的。。。你把sinh用Peano展开，sinh = h - h^3/3! +o(h^3),显然是高阶的啊，要不你用下L Hospital法则，算下也行。。。极限是0

Answer 2

这是一道考研真题吧，非常经典，这个题解答过程有点复杂，给你点启发哈，从导数的定义出发着手该题，正确答案应该是B

追问

　　答案是为B。谢谢啊

Answer 3

于x=0处左右倒数相等