Question

求函数y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x的最小值，并求使y取最小值时x的集合

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Answer 1

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=-(1-2sin²x)/2+1/2+sin2x+3(2cos²x-1)/2+3/2
=-cos(2x)/2+3cos(2x)/2+sin2x+2
=2+sin(2x)+cos(2x)
=2+√2[√2sin(2x)/2+√2cos(2x)/2]
=2+√2[sin(2x)cos(π/4)+cos(2x)sin(π/4)]
=2+√2sin(2x+π/4)

当sin(2x+π/4)=-1时，y有最小值2-√2
此时2x+π/4=2kπ-π/2，即x=kπ-3π/8，k∈Z

y取最小值时，x的集合是{x|x=kπ-3π/8，k∈Z}