Question

如图，PA垂直平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AD=PA=2,CD=2√2,E为AB中点，AF垂直平面PCD. (1)求证：平面PCE

如图，PA垂直平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AD=PA=2,CD=2√2,E为AB中点，AF垂直平面PCD.
(1)求证：平面PCE垂直平面PCD;
(2)求四面体PEFC的体积.

Answer 1

第一个问题：
令PC的中点为G。
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAE＝90°，∴PE＝√（PA^2＋AD^2）＝√（4＋2）＝√6。
∵ABCD是矩形，∴∠CBE＝90°、AD＝BC，∴CE＝√（BD^2＋BC^2）＝√（2＋4）＝√6。
∵PE＝CE＝√6、G∈PC且PG＝CG，∴EG⊥PC。

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD。
由CD⊥PA、CD⊥AD、PA∩AD＝A，得：CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD。

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又PA＝AD＝2，∴PD＝2√2，而CD＝2√2、CD⊥PD，
∴PC＝4。
由PD＝CD＝2√2、CD⊥PD，G∈PC且PE＝CE，得：DG⊥PC、且DG＝PC/2＝2。

∵ABCD是矩形，∴AD⊥AE，∴DE＝√（AE^2＋AD^2）＝√（2＋4）＝√6。
显然有：EG＝√（CE^2－CG^2）＝√（6－4）＝√2。
∴EG^2＋DG^2＝DE^2，∴EG⊥DG。
由EG⊥PC、EG⊥DG、PC∩DG＝G，得：EG⊥平面PCD，而EG在平面PCE上，
∴平面PCE⊥平面PCD。

第二个问题：
∵AF⊥平面PCD，∴AF⊥PD，又PA＝AD＝2，∴F是PD的中点，
∴V(P－EFC)
＝V(P－CDE)－V(F－CDE)＝V(P－CDE)－（1/2）V(P－CDE)＝（1/2）V(P－CDE)
＝（1/2）V(P－ACD)＝（1/3）S(△ACD)×PA＝（1/3）×［（1/2）AD×CD）］×2
＝（1/3）AD×CD＝（1/3）×2×2√2＝（4/3）√2。