Question

请教个问题，已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+4/3,直线l：9x+2y+c=o (1),求直线l与y=f(x)的图像不相切

（2）， x属于[-2,2]时，函数y=f(x)的图像在直线l的下方，求c 范围

Answer 1

(1)
f(x)=1/3x^3-x^2+4/3
f'(x)=x²-2x=(x-1)²-1≥-1
直线l：9x+2y+c=0的斜率k=-9/2<-1
∴直线l与y=f(x)的图像不相切
(2)
直线l即y=-9/2x-c/2
设g(x)=-9/2x-c/2-f(x)
=-9/2x-c/2-1/3x^3+x^2-4/3
=-1/3x³+x²-9/2x-(4/3+c/2)
g'(x)=-x²+2x-9/2=-(x-1)²-7/2
∵x∈[-2,2]
∴x=1时，f'(x)取得最大值-7/2
∴g'(x)≤-7/2<0
∴g(x)是减函数，
g(x)min=g(2)=-8/3+4-9-4/3-c/2
=-9-c/2
若函数y=f(x)的图像在直线l的下方

则需g(x)min:>0
∴-9-c/2>0
解得c<-18

追问

为什么g(x)要减去f(x)呢？？

追答

直线y1=-9/2x-c/2
y2=f(x)=1/3x^3-x^2+4/3
函数y=f(x)的图像在直线l的下方

即是y1>y2
y1-y2>0