Question

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,G为BC中点,EG平行AD交AC于F，交BA延长线于E.求证：CF=1/2(AB+AC)

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,G为BC中点,EG平行AD交AC于F，交BA延长线于E.求

证：CF=1/2(AB+AC)

Answer 1

证明：延长FG到点H，使FG=GH，连结BH

∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵EG∥AD
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE
∴∠AEF＝∠AFE

∴AE=AF

∵G是BC的中点

∴BG=CG

在△BGH和△CGF中

  BG=CG

  ∠BGH=∠CGF

  GH=GF

∴△BGH≌△CGF

∴∠BHG=∠CFG，BH=CF

∵∠CFG＝∠AFE=∠AEF

∴∠BHG=∠AEF

∴BE=BH=CF

∵BE=AB+AE=AB+AF

∴CF=AB+AF

∴CF+CF=AB+AF+CF

∴2CF=AB+AC

即：CF=1/2(AB+AC)

Answer 2

证明：在EG延长线上取点P，使GP＝GF，过点C作CH∥GE交BE的延长线于点H，连接BF
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵EG∥AD
∴∠AEF＝∠BAD，AFE＝∠CAD
∴∠AEF＝∠AFE
∵G是BC的中点
∴BG＝CG
∵GP＝GF
∴平行四边形FBPC
∴BP∥AC，BP＝CF
∴∠BPE＝∠AFE
∴∠BPE＝∠AEF
∴BP＝BE
∴BE＝CF
∵CH∥AD
∴∠H＝∠AEF，∠ACH＝∠AFE
∴∠H＝∠ACH
∴AH＝AC
∴BH＝AB+AH＝AB+AC
∵GE∥AD，CH∥AD
∴CH∥EG
又∵G是BC的中点
∴中位线GE
∴BE＝BH/2＝（AB+BC）/2
∴CF＝（AB+AC）/2
这是本人之前类似的解答，请参考：
http://zhidao.baidu.com/question/463191799.html

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Answer 3

赞同“海语天风001”的答案。　下面从另一个角度给出证明，希望对你有所启发。
［证明］
∵AD∥EG，∴∠AEF＝∠BAD、∠AFE＝∠CAD，又∠BAD＝∠CAD，∴∠AEF＝∠AFE，
∴FA＝EA。

∵EG截△ABC的BA的延长线、AC、BC于E、F、G，
∴由梅内劳斯定理，有：（GB/GC）（FC/FA）（EA/EB）＝1，又GC＝GB，
∴FC/FA＝EB/EA，而FA＝EA，∴FC＝EB＝AB＋EA＝AB＋FA，
∴2CF＝FC＋EB＝FC＋（AB＋FA）＝AB＋（FC＋FA）＝AB＋AC，
∴CF＝（1/2）（AB＋AC）。