Question

已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn且Sn等于二分之an(an+1),n属于正数

1证an为等差数列，2 bn等于2sn分之一，tn等于b1+b2+……+bn.求bn

Answer 1

解：Sn=an(an+1)/2
2Sn=an²+an (1)
2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1) (2)
(1)-(2)
2an=an²-a(n-1)²+an-a(n-1)
an²-a(n-1)²=an+a(n-1)
【an-a(n-1)】【an+a(n-1)】=an+a(n-1)
数列{an}的各项均为正数，an+a(n-1)>0
所以 an-a(n-1)=1
{an}是等差数列
又2Sn=an²+an
令n=1 2a1=a1²+a1,且a1>0
所以 a1=1

所以 an=1+(n-1)=n

Answer 2

1求数列an的通项公式，
若an方=2的负bn次方，设cn=bn/an,求数列cn的前n项和Tn
解：由题意
2an=Sn+1/2
Sn=2an-1/2

n=1时，S1=a1
a1=2a1-1/2
a1=1/2

S(n+1)-Sn=a(n+1)
2a(n+1)-1/2-[2an-1/2]=a(n+1)
a(n+1)=2an

因此{an}是等比数列，首项1/2，公比2
an=（1/2）*2^(n-1)
=2^(n-2)

Sn,an,1/2成等差数列
2an=1/2+Sn 2an-1=1/2+Sn-1
2a1＝1/2+S1＝1/2+a1 a1＝1/2
2an-2an-1=1/2+Sn-1/2-Sn-1=an
an/an-1＝2
所以｛an｝是以a1＝1/2 q＝2的等比数列
an＝1/2×2^n＝2^(n-1)

an^2=2^(-bn)
2^2（n-2)=2^(-bn)
bn=4-2n
cn=bn/an=(4-2n)/2^(n-2)
下面错位相减求和:

2cn=(4-2n)/2^(n-1）
……
2c1=（4-2*1）/2^0

Tn=（2c1+……+2cn）-（c1+……cn）
=2*[1/2^0+1/2^1+……+1/2^(n-2)]+(4-2n)/2^(n-1)-(4-2*1)/2^(-1)
=2*(1-1/2^(n-2))+(4-2n)/2^(n-1)-4
=(3-2n)/2^(n-1)-2