Question

求定积分ln(x)/(1+x^2),x从1到无穷,详细过程啊~

Answer 1

这个结果是Catalan常数, 目前没有用已知常数表示的闭形式.
可以得到如下的级数表达式 (关于收敛性和交换极限次序的讨论省略).
∫{1,+∞} ln(x)/(1+x²) dx
= ∫{0,+∞} ln(e^t)/(1+(e^t)²) d(e^t)
= ∫{0,+∞} t·e^t/(1+e^(2t)) dt
= ∫{0,+∞} t·e^(-t)/(e^(-2t)+1) dt
= ∫{0,+∞} t·e^(-t)·∑{0 ≤ k} (-e^(-2t))^k dt
= ∫{0,+∞} ∑{0 ≤ k} (-1)^k·t·e^(-(2k+1)t) dt
= ∑{0 ≤ k} (-1)^k·∫{0,+∞} t·e^(-(2k+1)t) dt
= ∑{0 ≤ k} (-1)^k·1/(2k+1)²·∫{0,+∞} (2k+1)t·e^(-(2k+1)t) d((2k+1)t)
= ∑{0 ≤ k} (-1)^k·1/(2k+1)²·∫{0,+∞} u·e^(-u) du
= ∑{0 ≤ k} (-1)^k·1/(2k+1)².
从目前已知的结果看, 其没有用已知常数表示的闭形式,
但是证明不了, 甚至没有证明这是一个无理数, 参考链接:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E5%B8%B8%E6%95%B0