Question

一道微积分导数题，求详细解答

一长方形的两边长分别以x与y表示,若x边以0.01m/s的速度减少，y边以0.02m/s的速度增加，试求在x=20m,y=15m时，长方形面积的变化速度及对角线长度的的变化速度

Answer 1

两边的长度都是关于时间的函数，设为x=x(t),y=y(t)
面积S=xy=x(t)y(t)
面积变化速度S´=x(t)y´(t)+x´(t)y(t)=20*0.02+15*(-0.01)=0.25，即面积变化速度为0.25m²/s增加

对角线l=√（x²+y²）
l´=[x(t)x´(t)+y(t)y´(t)]/√（x²+y²）=0.004m/s,即对角线长度变化速度为0.004m/s增加

追问

能说一下我的做法为什么错吗？错在哪里？
S=(x-0.01t)×(y+0.02t)
将x,y的代入S的表达式:
得到:S=300+0.4t-0.15t-0.002t^2
S的变化速度等于S对时间求导:
S’=0.25-0.002t

追答

其实你那个好像也有道理呀，如果你设x是初始长度，x-0.01t就是t时刻的长度，S就是t时刻的面积

S`是t时刻面积变化速度，
由于你认为x=20,y=15是初始长度（此时是初始时刻，t=0），并把它们代入表达式了，得到S`关于t的表达式

题中要求x=20,y=15时的面积变化速度，也就是t=0时的变化速度，所以你只需再将t=0代入你的表达式中，就得到结果了。