Question

实数a,b,c满足条件:a+b+c>0,ab+ac+bc>0,abc>0,求证a,b,c都是正数

实数a、b、c满足条件:a+b+c>0,ab+ac+bc>0,abc>0,求证a、b、c都是正数

Answer 1

（反证法）假设至少有一个数不为正数，由于abc>0，则必为 一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，
此时由已知 a+b+c>0， 得 a> -(b+c)， 不等式两边同乘以 (b+c) <0 ，
得： a(b+c) < -(b+c)^2 ，
所以 ab+ac+bc = a(b+c)+bc < -(b+c)^2 + bc = -(b-c)^2 - 3bc < 0+0 =0 ，
与已知的 ab+ac+bc >0相矛盾，　所以a,b,c都是整数。