Question

此题怎解？

Answer 1

提示：
既然是二次函数,设为f(x)=ax^2+bx+c.（a!=0） (!=表示＂不等于＂)
根据题意可列出方程:
(1)在y轴上的截距为1,即x=0时，f(x)=ax^2+bx+c=a*0+b*0+c
＝c
=1,
则: c=1()(实际上对截距的概念熟悉的话很容易知道在y轴上的截距就为c)
(2)被x截得的线段长为2√2可以看作相对应的方程的两根差为2√2，可以列方程：x2-x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a-[-b-√(b^2-4ac)]/2a
=√(b^2-4ac)]/a=2√2 （显然a>0）
为了计算方便，先把c=1代入式子再化简单，
(b^2-4a)/a^2=8......(1)
(3)二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),那么：
a（x-2）^2+b（x-2）+c＝a（-x-2）^2+b（-x-2）+c,化简，
ax^2-4ax+4a+b（x-2）+c=ax^2+4ax+4a+b（樱冲森-x-2）+c
即8ax=2bx,因为此式子恒等，不论x=0否，那么
b=4a,
将b=4a代入式子（1）
(4a)^2-4a=8a^2,即8a^2－4a=0,得到a=1/2或a=0,显然a!=0(二次函数所以a不等于0)，那么b=2,
a=1/2,b=2,c=1,
f(x)=1/2x^2+2x+1.
（1）不论什么题目判冲，找出解答问题的关键．
（2）有一个条件就可以得出一个结论，即一个式子．
（3）对函数的截距（y轴上的截距，x轴上的截距）含义清晰认识．
（4）函数和方程何以相互转化．
（5）做题一步一步，不要贪图马上有结论，只有深入了解，才会慢慢得出．
另外也可这样做
方法一：
解：设f(x)=ax^2+bx+c；…………x^2表示x的平方
令x=t+2，代入f(x-2)=f(-x-2)得f(t)=f(-t-4)，
代入t=0得f(0)=f(-4)；
∵f(x)图象在y轴上的截距为1，
∴f(0)=f(-4)=1；…………f(0)即f(x)在y轴上的截距
解f(0)=1得c=1；
由f(-4)=1得b=4a；
∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2√2，
∴脊亩√(b^2-4ac)/|a|=2√2；…………二次函数f(x)的图象被x轴截得的线段长为f(x)=0的两根之差的绝对值
代入b=4a解得a=1/2，b=2；
∴f(x)=1/2x^2+2x+1.