Question

高数，二重积分

设D是由x^2+y^2≤x围成的区域，则∫∫√1-x^2-y^2dxdy=（ ）
方法1：A=2∫<0,π/2>dθ∫<0,cosθ>√(1-r²)rdr=2∫<0,π/2>1/3(1-sinθ^3)dθ=2/3(π/2-2/3)
方法2：A=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,cosθ>√(1-r²)rdr=∫<-π/2,π/2>1/3(1-sinθ^3)dθ=π/3
这2个方法怎么结果不一样啊？
我换了个区域，设D是由x^2+y^2≤y围成的区域,方法1,2来算∫∫√1-x^2-y^2dxdy时又一样，怎么回事？求大神指点。。。在线等

Answer 1

这问题我初学时也遇过，多做多分析几次就发现了☆∧_∧☆

Answer 2

你算的没错，不过二重积分看的不是被积函数，是积分区域D。积分区域D如果关于Y轴对称，就可以用对称性原理进行简化，不对称就不能这么计算。你修改的那个D区间是符合要求的。

追问

答案上是方法一正确，方法二错误，我想知道为什么方法2是错的?

追答

。。。。我觉得是方法二是常规方法正确的，答案书上方法1是对的？那很令人费解啊。。。。。

追问

亲，求算一下，等你救我。我困扰好久了