Question

已知向量m,n满足:对任意λ属于R,恒有|m-λ(m-n)|>=|m+n|\2,则

答案是|m|=|n|,为什么

Answer 1

这题要解析推导有点麻烦，但可以用点小技巧：
对于任意的λ∈R，不等式恒成立，则：
取λ=0是成立的，即：|m|≥|m+n|/2成立
即：2|m|≥|m+n|
即：4|m|^2≥|m+n|^2=|m|^2+|n|^2+2m·n
即：3|m|^2-|n|^2-2|m|*|n|*cos<m,n>≥0
即：cos<m,n>≤(3|m|^2-|n|^2)/(2|m|*|n|)成立
(3|m|^2-|n|^2)/(2|m|*|n|)≥1时，上式恒成立
即：3|m|^2-2|m|*|n|-|n|^2≥0
即：(|m|-|n|)(3|m|+|n|)≥0
故：|m|-|n|≥0，即：|m|≥|n|
取λ=1，即：|n|≥|m+n|/2成立
即：2|n|≥|m+n|
即：4|n|^2≥|m+n|^2=|m|^2+|n|^2+2m·n
即：3|n|^2-|m|^2-2|m|*|n|*cos<m,n>≥0
即：cos<m,n>≤(3|n|^2-|m|^2)/(2|m|*|n|)成立
(3|n|^2-|m|^2)/(2|m|*|n|)≥1时，上式恒成立
即：3|n|^2-2|m|*|n|-|m|^2≥0
即：(|n|-|m|)(3|n|+|m|)≥0
故：|n|-|m|≥0，即：|n|≥|m|
所以只能是：|m|=|n|