Question

设a,b,c为三角形ABC的三边,求证:x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式的充要条件是A=90°?

Answer 1

1 (必要性）若x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因子，
那么它们应与(x^2+2ax+b^2)-(x^2+2cx-b^2)=2(a-c)x+2b^2也有一次公因子。故这个一次公因子就为
(a-c)x+b^2.那么a与c不相等，且x=-b^2/(a-c)使x^2+2ax+b^2=0
代入得：[-b^2/(a-c)]^2+2a*[-b^2/(a-c)]+b^2=0
整理：b^4-2ab^2*(a-c)+b^2*(a-c)^2=0
因b>0,故b^2-2a(a-c)+(a-c)^2=0,b^2-2a^2+2ac+a^2-2ac+c^2=0,a^2=b^2+c^2
从而可知，A=90度。

2 （充分性）若A=90度，
则a^2=b^2+c^2,
x^2+2ax+b^2=x^2+2ax+a^2-c^2=(x+a)^2-c^2=(x+a+c)(x+a-c);
x^2+2cx-b^2=x^2+2cx+c^2-a^2=(x+c)^2-a^2=(x+c+a)(x+c-a).
可见，x^2+2ax+b^2与x^2+2cx-b^2有一次公因子(x+a+c).

证毕。