Question

已知定义在实数集R的函数fx满足f(-x)+f(x）=0且当x属于（-1，0)时， f（x）=-（3^x/(9^x)+1)

1求函数fx在（-1,1）的解析式2判断fx在（0,1）的单调性3当r取何值时，方程fx=r在（-1,1）上有实数解有解题过程

Answer 1

f(-x)+f(x）=0 即 f(x)=-f（-x）
f(x)为奇函数
x属于（0,1) 时
f(x)=-f(-x)=3^(-x)/(9^(-x)+1)=3^x/9^x+1

当x=0 时 f(x)=0

当x=(-1,0)时
f（x）=-（3^x/(9^x)+1)
=-1/(3^x+ 1/3^x)
设 3^x=t>0
即 f(x)=-1/(t+1/t)
因为 x∈（-1,0）
1/3<t<1 t+1/t 随着t 的增加而减小， 1/(t+1/t) 随着 t的增加而增加，-1/(t+1/t) 随着t的增加而减小，t随着X增加而增加
即 f(x)随着X增加而减小，奇函数的单调性是一致的， 即在（-1,1） f(x)均随X增加而减小 单调减区间

f(x)在（-1,0）的值域（-1/2,-3/10）
f（x）在（0,1）的值域(3/10,1/2)
所以r的取值范围是 3/10<r<1/2 或 -1/2<r<-3/10 或r=0