Question

设函数f(x)=[|x|/(x+2)]-ax^2,其中a∈R.

(1)当a=2时,求函数f(x)的零点
(2)当a>0时，求证：函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点
(3)若函数f(x)有四个不同的零点，求a的取值范围

Answer 1

1)当a=2时，f(X)=|x|/(x+2)-2x^2=0 |x|=2x^3+4x^2
x>0 x(2x^2+4x-1)=0 x=0,-1±√6/2; x<0 x(2x^2+4x+1)=0 x=0,-1±√2/2;
函数的零点有 0,,-1±√6/2,,-1±√2/2;
2）当a大于0时，f(X)=|x|/(x+2)-ax^2=0 |x|=ax^3+2ax^2
x>0 x(ax^2+2ax-1)=0 x=0,x1×x2=-1/a<0 有一个正根 ,
x<0 x(ax^2+2ax+1)=0 ;x3+x4=-2<0 x3×x4=1/a>0 x3<0 x4<0
函数在（0，正无穷）内有且只有一个零点
3）若函数有4个不同的零点， |x|=ax^3+2ax^2 ;
x>0 x(ax^2+2ax-1)=0 Δ=4a^2+4a=0 a=-1
或x<0 x(ax^2+2ax+1)=0 Δ=4a^2-4a=0 a=1
所以 当 a=-1 或 a=1 时函数有4个不同的零点