Question

如图所示,在等腰梯形ABCD中AD平行BC,AB=DC,BG⊥CD于G。

（1）若点P在BC上，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F。说明PE+PF=BG； （2）若点P在CB的延长线上，仍作P作PE⊥AB交AB的延长线于E，作PF⊥CD交CD（或CD延长线）于点F，是否任然存在PE+PF=BG？若不成立，写出正确关系，并说明理由。

Answer 1

大概给个思路吧，我是自己写的，但是感觉这题的方法很多。
(1)作PH⊥EG于H
三个角是直角的四边形为矩形，得矩形HPFG，可知PF=HG，HP∥GF
等腰梯形得∠ABC=∠C，又因为HP∥GF，∠C=∠HPB，所以∠ABC=∠HPB
因为∠ABC=∠HPB，∠BEP=∠BHP=90°，BP=BP，所以△BEP全等于△BHP
所以EP=BH
因为BH+HG=BG，所以PE+PF=BG
（2）PE+BG=PF
作图自己作一下，作BM⊥PF于M
方法类似，证矩形MBGF，得BG=MF,BM∥CD
∠PBE=∠ABC=∠C=∠MBP
因为∠PBE=∠MBP，∠PMB=∠PEB,PB=PB，所以三角形PMB全等于三角形PEB
所以PM=PE
因为PF=PM+MF
所以PE+BG=PF