Question

设函数f(x)=1/2-1/2^x+1

1.证明函数f(x)是奇函数
2.证明函数f(x)在(-∞,+∞)内是增函数
3.求函数f(x)在[1,2]上的值域

Answer 1

(1)f(X)=1/2-1/(2^x+1)
=(2^x-1)/[2(2^x+1)]
所以f(-X)= (2^(-x)-1)/[2(2^(-x)+1)]……分子分母同乘以2^x可得下式
=(1-2^x)/[2(1+2^x)]=-f(x),
所以函数是奇函数。

(2)任取x1<x2∈R
f(x1)-f(x2)
=1/2-1/(2^x1+1)-(1/2-1/(2^x2+1))
=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
=((2^x1+1)-(2^x2+1))/((2^x1+1)(2^x2+1))
=(2^x1-2^x2)/((2^x1+1)(2^x2+1))

因为(2^x1+1)(2^x2+1)>0,2^x1-2^x2<0
所以f(x1)-f(x2)<0,函数在(-∞，+∞)内递增
(3)
因为函数在(-∞，+∞)内递增，所以在[1,2]上递增。
f(X)=1/2-1/(2^x+1)
f(1)=1/2-1/(2^1+1)=1/6,
f(2)=1/2-1/(2^2+1)=3/10.
函数f（x）在[1,2]上的值域是[1/6,3/10].

Answer 2

麻烦你再检查一下题目吧
f(0)都不等于0，所以f肯定不是奇函数