Question

帮忙解答线性代数问题！

Answer 1

【题目解析】
矩阵A的“解空间”是指所有那些满足Ax=0的向量x所构成的线性空间。
解空间的维数加上矩阵的秩，正好等于矩阵的阶数。

由AB=0且rank(B)=2，知道A的解空间至少是2维的。（因为B有2列线性无关，且都在A的解空间之内）。换句话说，A的属于特征值为0的特征子空间至少是2维的。
再由(A+2E)C=0且rank(C)=2，知道A+2E的解空间也至少是2维的。换句话说，A的属于特征值为-2的特征子空间至少是2维的。

下面证明A的解空间和A+2E的解空间只有一个公共元素，就是0向量。
假设x是非零向量，且在A的解空间内，即Ax=0，那么(A+2E)x=2x不等于0。这说明了凡是A的解空间中的元素，就不可能出现在A+2E的解空间内。同理，凡是A+2E的解空间中的元素，就不可能出现在A的解空间内。因此这两个解空间的交集只有0。

由于A的所有特征子空间的维数之和不可能超过A的阶数4，而已知0和2的特征子空间维数都不少于2，因此只能推出0和-2的特征子空间维数都是2，也就是A的解空间和A+2E的解空间都是2维的。

这样就知道了A肯定相似于对角阵D，D对角线上的四个元素是0,0,-2,-2.
取B中两个线性无关列，再取C中两个线性无关列，这四个列拼成一个可逆矩阵P，那么
inv(P)*A*P=D（inv(P)表示P的逆矩阵）
所以A=P*D*inv(P)

第一问：
|E+A|
=|E+P*D*inv(P)|
=|P*E*inv(P)+P*D*inv(P)|
=|P*(E+D)*inv(P)|
=|P|*|E+D|*|inv(P)|
=|E+D|
=1

第二问：
(E+A)^2014
=【E+P*D*inv(P)】^2014
=【P*E*inv(P)+P*D*inv(P)】^2014
=【P*(E+D)*inv(P)】^2014
=P*(E+D)^2014*inv(P)
=P*E*inv(P)
=E

第三问：
刚才已经知道了2E+A的解空间是2维的，而解空间的维数加上矩阵的秩，正好等于矩阵的阶数。
所以2E+A的秩就是2。