Question

请线性代数好的人帮忙。A矩阵正定的必要条件为什么是对称阵A的行列式＞0，A主对角线的元素都大于0？

由A正定能怎么推出来这个结论啊？

Answer 1

首先，为什么讨论对称矩阵？
任何一个矩阵A都可以唯一地分解为一个对称矩阵S和反对称矩阵T的和。A=S+T
对于反对称矩阵，满足T'=-T，其中'表示转置。
因此对于任意的向量x，有x'Tx=-x'T'x=-(x'Tx)'=-x'Tx，这里x'Tx是一个实数，它和自己的相反数相等，那它只能等于0。
这就是我们只考虑对称矩阵的原因，对于一般的矩阵A，它是否正定（或者负定）只取决于它的对称部分S，和反对称部分T无关。

下面再证明A正定能推出行列式大于0。
线性代数课本上肯定有这样一个定理：
对阵矩阵S的下列命题等价：
S是正定的；
S相合于单位阵I；
S=P'P，其中P是可逆方阵；
...
这样的话|S|=|P'||P|=|P|^2，又因为P可逆，所以|P|不等于0，所以|S|>0。证毕。

下面证明对角线元素都大于0
接着刚才那个定理：
（等价于）S的所有主子式大于0.
所谓主子式就是指选取矩阵中第i1,i2,i3,...,ik行，i1,i2,i3,...,ik列的元素，所组成的子矩阵的行列式。对角线上的元素都是一阶主子式，所以肯定都大于0.

Answer 2

A正定，则A的主对角线元素全大于零。是因为A正定的定义是对任意的非零向量X，X'AX>0，特别的取X为(0,...,0,1,0,...,0)'，即X的第i个分量为1，其余元素均为零，则a_ii=X'AX>0。

Answer 3

用数学归纳法证明