Question

如果函数f(x)=2^(2x)+a*2^x+a+1有零点，求实数a的取值范围.

参考答案:根据题意{a^2-4(a+1）≥0；-a/2＞0；a+1＞0}或a+1≤0……
帮忙解释这样做的原因。

Answer 1

f(x)=(2^x)^2+a*(2^x)+(a+1)

令t=2^x,g(t)=t^2+a*t+a+1,那么t的取值范围是(0,无穷]，则仅当g(t)有正根的时候，f(x)有零点

那么首先g(t)要有根 用判别式可知必须有a^2-4(a+1）≥0

在有根的前提下，无外乎两种情况：

第一种 对称轴在右边(；-a/2＞0)，且t=0时g(t)>0(a+1＞0)

第二种 对称轴任意，但是t=0时g(t)<0(a+1≤0)，

    从图像上看，注意到当t很大的时候g(t)一定是大于零的，因此在0和正无穷之间必然有解，所以  判别式的要求就被包含在a+1≤0之内了

   或者，从代数上看当a+1≤0时必然有a^2-4(a+1）≥0（平方数大于等于零）

所以答案如你所述是{a^2-4(a+1）≥0；-a/2＞0；a+1＞0}或a+1≤0

追问

为什么“第一种，且t=0时g（t）>0”？

追答

如图1所示，t=0时g（t）>0，如果没有这个限制那么就和图2重复了

Answer 2

根据题意，f(x)=(2^x)^2+a×2^x+a+1
令2^x=b f(x)=b^2+ab+a+1
相当于以b为元的二元一次方程 Δ>0

Answer 3