Question

设数列an的各项均为正数，它的前n项和为Sn，点（an,Sn）在函数y=(1/8)x^2+(1/2)x+1/2的图像上,

数列bn=a(n+1)/an+an/a(n+1),其前n项和为Tn
(1)、求an
(2)、求证：Tn-2n＜2

Answer 1

据题意，有an＞0，Sn=an²/8+an/2+1/2.
（1）令n=1，得a1=2.
S（n+1）-Sn=a（n+1）=（a²（n+1）-a²n）/8+（a（n+1）-an）/2.
整理得（a（n+1）+an）（a（n+1）-an-4）=0.
则a（n+1）=-an或a（n+1）=an+4.
又an＞0，故前者舍去，得a(n+1）=an+4.
即数列{an}是首项a1=2，公差d=4的等差数列。
an=a1+（n-1）d=4n-2.
（2）代入an，得bn=（2n+1）/（2n-1）+（2n-1）/（2n+1）。
当n=1时，T1-2=4/3＜2成立。①
假设当n=k时成立，即Tk-2k＜2.②
当n=k+1时，T（k+1）-2（k+1）=Tk-2k+b（k+1）-2
由于Tk-2k＜2，故Tk-2k+b（k+1）-2＜b（k+1）
b（k+1）=（2k+3）/（2k+1）+（2k+1）/（2k+3）
=2-2/（2k+3）+1/（2k+1）
=2+（1-2k）/（2k+1）（2k+3）
＜2.
故T（k+1）-2（k+1）＜2.③
联立①、②、③，得对任意n∈N*，Tn-2n＜2.
综上，命题得证。