Question

设集合A={x|x^2+2x-3>0},集合B={x|x^2-2ax-1<=0,a>0}若A交B恰含有一个整数,则实数a取值范围

Answer 1

x^2+2x-3>0
(x+3)(x-1)>0
x>1或x＜-3

x^2-2ax-1<=0,a>0
（x-a)^2≤a²+1
a-根号(a²+1）≤x≤a+根号（a²+1）

因为a＞0，则[a-根号(a²+1)]²=2a²+1-2a根号（a²+1）＜2a²+1-2a²=1
所以a-根号-1＜x≤a+根号（a²+1）

因此A交B交集满足1<x≤a+根号（a²+1）
因为该范围内只有一个整数，那么这个整数只可能是2

所以1<a+根号（a²+1)<3
3-a>根号（a²+1）
9+a²-6a>a²+1
a<4/3

而根据1<a+根号（a²+1)，
(1-a)²<a²+1
-2a＜0
a>0

因此a的取值范围是(0,4/3)

追问

答案是3/4<=a<4/3 为什么是只有整数2 呢 这块不太明白 答案是f(2)小于等于 0 且f(3)大于0 结出来的 求详解

追答

因此A交B交集满足1<x≤a+根号（a²+1）
因为该范围内只有一个整数，那么这个整数只可能是2

比1大的一个范围里面只有一个整数的话，那么只能是2。如果是3或者更大的话，那么2也是在大于1这个范围里面，那么2再加上3或者比3更大的一个整数，那么包含的整数就不止一个了吧？

追问

谢谢您的耐心解答 但是结果好像有点出入 答案是3/4<=a<4/3 f(2)小于等于 0 且f(3)大于0 结出来的

追答

我明白你讲的了，但我不认同答案的解法

追问

答案是集合A解集x大于1或小于负3 集合B的对称轴是x=a>0 f(0)=-1<0根据对称性可知恰含有的整数是2 所以f(2)小于等于 0 且f(3)大于0 这样解答出来的

追答

我的解法跟答案用的方法不一样。我忽略一个小地方，既然说这个解就是2，那么范围应该是≥2。现在修改如下：

2≤a+根号（a²+1)根号（a²+1）
9+a²-6a>a²+1
a<4/3

而根据2≤a+根号（a²+1)，
(2-a)²≤a²+1
4-4a≤1
a≥3/4

你不要急着确认，我晚上再考虑一下给你一个充分的解答

我在路上，用手机回复，不太方便，但还是可以让你理解。我想了想，还是我原先的解法是对的。比如a=1/2，不在你说的答案的范围内，但在我解的范围内。你放到方程里面，是符合要求的

回头我再给你解释我的解法的思路。

1/2那个反例不对。按照我修改后的解法

Answer 2

解A得x>1或x<-3
的那个整数为2或-4
分别带入B中解不等式
得a<=-5/8
或a>=3/4

追问

为什么整数是2或者负4呢 求详解