Question

一道数学初中七年级几何题。如图，在△ABC中，∠A＝50º,∠ACB＝75º，∠E是两条角平分线的交点。

(1) 求∠BEC的度数；
（2）求∠BFC的度数；
（3）若点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点，试探索∠BA1C与∠BAC的数量关系，并说明理由；
（4）若∠A＝96º，在（3）的情况下，作∠A1BC与∠A1CD的平分线交与点A2，以此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线交与点A5，求∠BA5C的度数。（直接写出解答过程）。
谢谢！

Answer 1

（1）因为∠A＝50，∠ACB=75
所以∠ABC=55
又因为BE平分角∠ABC，EC平分∠ACB
所以∠EBC=27.5，∠ECB=37.5
所以∠BEC=115
（2）因为∠ABC=55，∠ACB=75
所以∠CBF=62.5，∠BCF=52.5
所以∠BFC=65
（3）因为∠EBC=37.5 ，∠ACB=75
所以∠BCF=∠ACA1=52.5
所以∠A1CB=155
所以∠A1=25
所以∠A=2∠A1
（4）∠A=2A1=4A2=8A3=16A4=32A5
因为∠A=96
所以∠A5=3

Answer 2

解：1、∠A=50°，∠ACB=75°，因此∠ABC=180°-50°-75°=55°
因为E点是两个角平分线的交点，所以∠EBC=55°/2=27.5°，∠ECB=75°/2=37.5°
在△EBC中，从而有∠BEC=180°-27.5°-37.5°=115°
2、由∠ABC=55°，因此∠FBC=(180°-55°）/2=62.5°
同理，有∠FCB=52.5°
∴∠BFC=180°-62.5°-52.5°=65°
3、∠A1CD=（180°-75°）/2=52.5°，而且有∠A1CD=∠BA1C+∠EBC
∴∠BA1C=52.5°-27.5°=25°
∴∠BA1C=∠BAC/2
证明：∠BA1C=∠A1CD-∠EBC=(180°-∠ACB）/2-∠ABC/2=(180°-∠ACB-∠ACB)/2=∠BAC/2
4、

Answer 3

△BEC中∠BEC=180-（∠EBC+∠ECB)=180-(∠ABC+∠ACB)/2=180-(180-∠A)/2=90+25=115;
E是两条角平分线的交点,CE BE 都是角平分线。
F是两条角平分线的交点∠BFC=180-（∠FBC+∠FCB)=180-((180-∠ABC)+(180-∠ACB))/2=180-(180-(∠ABC+∠ACB)/2)=(∠ABC+∠ACB)/2=(180-∠A)/2=65
∠A1=180-(∠A+∠ABC)/2-∠ABC/2-∠ACB=180-∠A/2-∠ABC-∠ACB=180-∠ABC-∠ACB-∠A+∠A/2=∠A/2
∠A2=180-3(∠A+∠ABC)/4-∠ABC/4-∠ACB=180-3∠A/4-∠ABC-∠ACB=180-∠ABC-∠ACB-∠A+∠A/4=∠A/2^2
,,,,,,
∠BAnC=∠A/2^n（∠A的2的n次方之一）
∠BA5C=∠A/2^5=96/(8*4)=96/32=3

Answer 4

(1) ∠BEC=180º-∠A1EC=180º-(∠ACB/2+∠ABC/2)=180º-(∠ACB+∠ABC)/2=180º-(180º-∠A)/2=180º-(180º-50º)/2=180º-65º=115º （三角形外角等于两内对角之和）

(2) 因为点F是两条外角平分线的交点，所以∠EBF和∠ECF都是直角。所以∠BFC=180º-∠BEC=65º

(3) ∠A1=∠A1CD-∠A1BC=(180º-∠ACB)/2-∠ABC/2=(180º-∠ACB-∠ABC)/2=∠A/2,所以∠BA1C是∠BAC的一半 （三角形外角等于两内对角之和）

（4）根据（3），∠A5=∠A4/2=∠A3/(2X2)=∠A2/(4X2)=∠A1/(8X2)=∠A/(16X2)=96/32=3º

Answer 5

1）∠BEC=90°+1/2∠A=115°
2)∠BFC=65°
要2、3答案请追问

追问

应该是（3）、（4）两题~~

Answer 6

BF是什么线？怎么没说明？

追问

点F是两条外角平分线的交点

追答

（1）
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB
=180°-1/2*∠ABC-1/2*∠ACB
=180°-1/2*(180-∠A-∠ACB)-1/2*∠ACB
=115°

（2）
∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF
=180°-1/2*(180°-∠ABC)-1/2*(180°-∠ACB)
=65°

(3)
∠BAC=∠BOC-∠ABA1
∠BA1C=∠BOC-∠ACA1
=∠BOC-1/2*(∠A+∠ABC)
=∠BOC-1/2*∠A-1/2*∠ABC
=∠BOC-1/2*∠A-∠ABA1
所以∠BAC>∠BA1C

(4)
令BA1与AC交于点O，
由（3）知∠BA1C=∠BOC-1/2*∠A-∠ABA1
=∠A+∠ABA1-1/2*∠A-1/2*∠ABC
=1/2*∠A
以此类推，可得∠BA2C=1/2*∠BA1C
∠BA3C=1/2*∠BA2C
∠BA4C=1/2*∠BA3C
∠BA5C=1/2*∠BA4C=（1/32）*96°=3°