Question

一道导数题，对答案有问题

1.已知函数f（x）=ae^x+（1/ae^x）+b（a＞0）
（1）求f（x）在[0，+∞）内最小值
（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线方程为y=（3/2）x，求实数a，b的值。

只求第一问，答案。

Answer 1

利用平均值不等式，A+1/A>=2 (平均值不等式适用条件为A>0,由a>0且指数函数值>0知此时显然满足条件)，所以，当ae^x=1时，即x=ln(1/a)时，f(x)=b+2为最小，但这个值是在x属于
（-∞，+∞）时取到的，所以分类讨论，

若x>0, 即0<a<=1时，f(x)最小值为b+2

若a>1,f'(x)=ae^x-（1/ae^x）,由x>0知e^x>1，所以A=ae^x>1，所以A>1/A，所以A-1/A>0，所以f'(x)>0，所以f(x)单增，最小值为x=0时取得，即当a>1时，f(x)的最小值为a+1/a+b

Answer 2