Question

已知数列{an}的前n项和Sn=3n²+5n,数列{bn}中,b1=5

已知数列{an}的前n项和Sn=3n²+5n,数列{bn}中,b1=5，64bn+1-bn=0，是否存在常数c使得一切n∈N+，an+logcbn恒为常数吗？若存在，求出常数c和m的值；若不存在，说明理由。（答案是存在，求过程）

Answer 1

an是等差数列，通项an=6n+2
bn是等比数列，通项bn=1/8^(2n-3)
an+logxbn=6n+2+logx8^(-2n+3)=6n+2-(2n-3)logx8
要想为常数，上式得与n无关，所以logx8=3
x=2
所以常数m=6n+2-6n+9=11

Answer 2

由题意，可以求得{an}和{bn}的通项公式分别为

an=6n+2 bn=5/[64^(n-1)] (较简单，过程略)
代入an+logcbn=m中，

6n+2+logc{5/[64^(n-1)]}=m
即 logc{5/[64^(n-1)]}=m-6n-2
即 c^(m-6n-2)=5/[64^(n-1)]
所以 c^(m-6n-2)·64^(n-1)=5
即 c^(m-6n-2)·2^(6n-6)=5
因为此方程与n无关，通过观察得 c=2

所以 2^(m-8)=5
即得 m=log2(5)+8