Question

递归数列极限问题？

数一的P25页讲的递归数列极限，就两个例题，看了很长时间，还是不太明白的，大家若是有兴趣帮我看看解答下的哦，谢谢的啊，一个人复习不懂的没同学请教。 那例1.45 x1=2, Xn+1=2+1/Xn (n+1为角标，后面n也是的） 令 f(x)=2+1/x，则Xn+1=f(Xn)，显然f(x)在x>0单调下降，因而Xn不具单调性。这个Xn不具单调性由前面的怎么得到呢？？？、 还有例1.44里面的递归方程 An+1=f（An），A表示小a。为什么会f(x)在某区间上单调上升，而An却单调下降呢？ An+1=f（An），那他们的单调性应该相同的吧？ 各位帮忙看看的了。谢谢的。

Answer 1

递归数列形式： an+1 =f(an) 第一步，设y=f(x)，即将an+1 换成y，f(an)换成f(x)。这一步一定要做，因为只有函数才能求导，数列是不能求导的。 第二步，对f(x)求导（千万别对f(an)求导，数列不可求导）。进行如下判别： 1，f ' (x) >= 0 ，即f(x)单调增加，则数列{an}单调 且当a2>a1时，{an}单调增加；当a2+∞时an的极限，以判断{an}的上界（下界），再设法证明{an}确实以此为界，即可证明{an}收敛。 2，f ' (x) <=0，即f(x)单调减少 则{an}不可能单调，此时先假设当n->+∞时，an=A,由A=f(A)解出A， 然后设法证明数列{an-A}趋于零。方法如下： 设法证明 |an+1-A|=|f(an)-f(A)|=......=k|an-A| 若有0+∞时，|an+1-A| -> 0 技巧：可以用另一种方法解2这种情况，方法如下： {an}不可能单调，但数列{an}的奇、偶子数列分别单调（大家可以自己想想为什么）， 此时可先求出n->+∞时，S2n=A；若n->+∞时，an=0，则可直接得出n->+∞时，S2n+1=A 因为奇、偶子数列极限相同，所以可以得出原数列收敛于A。

Answer 2

各位能说说“f ' (x) >= 0 ，即f(x)单调增加，则数列{an}单调，且当a2>a1时，{an}单调增加；当a2= 0 ，即f(x)单调增加，而数列{an}的单调性不跟它一样呢？？

Answer 3

呵呵，是不是些的太乱了的，那大家说说对递归数列极限的感觉也好的。