Question

高中物理竞赛 电磁感应

一个半径为r的非常小的导体圆环与一个半径为R(R>> r)的很大导体圆环中心相距为R,开始时两环平面彼此平行并分别与中心联线垂直,保持不变的电流I通过固定在空间的大环,小环以角速度ω围绕着一条直径匀速转动,小环的电阻是(欧),小环的自感可以忽略不计,求:1.小环中的电流强度;2.须用多大力矩施于小环,才能保持它匀速转动;3.大环中的感应电动势. 。

Answer 1

这道题用的东西还是比较基本的，除了第3小问要知道一些互感的知识吧
首先算大环在小环中心处产生的场强B=uI/8sqrt(2)R 这里u是磁导率 打不来那个miu所以偷懒了。。呵呵 算错的话请多多包涵
然后假定图示状态为初始时刻t=0 计算小环的磁通=B点乘面积=B*pi*r^2*cos(wt) omega不会打所以用w代替了。。
对时间t求导得到电动势=B*pi*r^2*w*sin(wt) 然后就有电流了 当然是交变的是时间的函数
第2问算小环上的磁力矩 =磁矩叉乘场强 磁矩m=i*S 这里i是上面算出来的小环的电流
所以力矩=m*B*sin（wt） sin是叉乘的结果
第三问是互感，有一个结论是2个物体间的互感系数相等 就是M12=M21
证明这个要一些矢量微积分吧 如果会的话可以找电动力学的书看 上面应该有证明
利用这个结论可以先算大环对小环的电感M12=B*pi*r^2/I I是大环的电流
根据上面说的这个M12应该等于小环对大环的电感M21
然后大环的磁通=M21*i 这里i是上面算出来的小环内的电流 （当然实际上还要算上他自己的磁通 但是由于他自己的磁通不是时变的 所以对电动势没有贡献 就偷懒省掉了。。呵呵）
然后对时间求导就得到电动势了
应该就是这样吧 不知道和答案一致吗？

追问

磁感强度好像不对，，答案里的是你的两倍。
力矩那里没看懂....
电感怎么计算？
抱歉我是自学的，好多东西没弄明白。。。。

追答

嗯 我又算了一下 确实应该是2倍
第2小题首先是磁矩的概念 对于平面线圈可以定义磁矩m 它是一个矢量 大小等于线圈内的电流乘以线圈面积
方向用右手法则确定 四指绕电流方向时大拇指的方向就是磁矩的方向 也就是说是线圈的法线方向
这样就能计算线圈受的磁力矩M=m叉乘B 但是注意这个公式只适用于匀强磁场 但是本题中说小环非常小 也就暗示把当地磁场当成匀强的 此公式对任意形状的平面线圈成立 一般的推导也要用到矢量分析和斯托克斯定理。。。
此题还有另外一种方法 就是外力矩的功率=线圈的热功率 M*w=i^2*电阻 算出来是一样的
当然也可以直接计算力矩 就是把力dF和位矢叉乘然后积分算 但是这种方法其实是上面的一般结论的一个特例
关于电感 有自感和互感 当有2个线圈的时候算某个的磁通 比如要算小线圈的磁通=L*i+M12*I
这里L是小线圈的自感 题目中说忽略 所以=0 i是小线圈的电流 M12是指大圈对小圈的互感 I是大圈的电流 对大圈有类似的公式 不赘述了
之前说的结论是指大圈对小圈的互感M12=小圈对大圈的互感M21 然后就OK啦
关于磁矩和互感的内容任何一本普通物理书上的电磁学部分都应该有的 证明的话可能要看电动力学书了 可以记一下这些结论 以前的竞赛都有考这些噢 呵呵