Question

已知数列an=2^n+1 证明1/(a2-a1)+1/（a3-a2)+…+1/(an+1 -an)＜1

an=2^n+1 证明1/(a2-a1)+1/（a3-a2)+…+1/(an+1 -an)＜1

Answer 1

首先——很高兴为您解答，详细过程如下：

正文——

证明：
1/(a2-a1)+1/（a3-a2)+……+1/(an+1 -an)
=1/[(2^2+1)-(2^1+1)]+1/[(2^3+1)-(2^2+1)]+……+1/{[2^（n+1）+1]-[2^(n)+1)]}
=1/{2^2-2^1}+1/[2^3-2^2]+……+1/[2^(n+1)-2^（n）]
=1/[2*2^1-2^1]+1/[2*2^2-2^2]+……+1/[2*2^(n)-2^(n)]
=1/2+1/(2^2)+……+1/[2^(n)]
=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^n
={1/2[1-(1/2)^n]}/(1-1/2)
=1-(1/2)^n
因为：(1/2)^n横大于0
所以：1-(1/2)^n＜1
所以：1/(a2-a1)+1/（a3-a2)+…+1/(an+1 -an)＜1

最后——尽管回答得不好，但我仍然希望能帮到你。如果您还满意的话，希望您能采纳我的回答，这也是对我的认可。最后，祝您学习进步，百尺竿头，更进一步！ ^_^