Question

已知向量a=(2sinωx,cos²ωx),向量b=(cosωx,2根号3)，其中ω>0,函数f(x)=向量a*向量b

已知向量a=(2sinωx,cos²ωx),向量b=(cosωx,2根号3)，其中ω>0,函数f(x)=向量a*向量b，若f(x)图像的相邻两对称轴的距离为π。（1）求f(x)的解析式（2）若对任意实数x∈[π/6，π/3]，恒有|f(x)-m|<2成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1
f(x)=a·b=(2sin(ωx),cos(ωx)^2)·(cos(ωx),2√3)
=sin(2wx)+√3(cos(2wx)+1)
=2sin(2wx+π/3)+√3
f(x)图像的相邻两对称轴的距离为π
即：函数的最小正周期：2π
即：2π/(2w)=2π
即：w=1/2
即：f(x)=2sin(x+π/3)+√3
2
|f(x)-m|<2，即：
m-2<f(x)<m+2恒成立
即：m-2<2sin(x+π/3)+√3<m+2
即：m-2-√3<2sin(x+π/3)<m+2-√3恒成立--------(1)
x∈[π/6,π/3]，即：
x+π/3x∈[π/2,2π/3]，即：
√3≤2sin(x+π/3)≤2
需：m+2-√3>2，m-2-√3<√3
即：√3<m<2√3+2